例 9.61

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• 例 9.60

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• 第 9 章解答题 22

例 9.61

设 $A$ 是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，求证：对任意的正整数 $k>1$，必存在唯一的 $n$ 阶半正定实对称矩阵 $B$，使得 $A=B^k$。这样的半正定阵 $B$ 称为半正定阵 $A$ 的 $k$ 次方根，记为 $B=A^{\frac{1}{k}}$。

解答

证明 设 $P$ 是正交矩阵，使得 $P^{\prime }AP=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\}$，其中 ${\lambda }_i\ge 0$ 是 $A$ 的特征值。令

$$B=P\mathrm{diag}\left\{{\lambda }_1^{\frac{1}{k}},{\lambda }_2^{\frac{1}{k}},\cdots ,{\lambda }_n^{\frac{1}{k}}\right\}{P}^{\prime },$$

则 $B$ 为半正定阵且 $A=B^k$，这就证明了 $k$ 次方根的存在性。

设 $B$ 是 $A$ 的 $k$ 次方根，则对 $B$ 的任一特征值 ${\mu }_i$，${\mu }_i^k$ 是 $A$ 的特征值， 即 ${\mu }_i$ 是 $A$ 的某个特征值的非负 $k$ 次方根。由例 9.60 可知，存在一个只和 $A$ 的所有特征值的 非负 $k$ 次方根有关的实系数多项式 $f(x)$，使得 $B=f(B^k)=f(A)$。设 $C$ 是 $A$ 的另一个 $k$ 次方根，则同上讨论也有 $C=f(A)$，从而 $B=C$，这就证明了 $k$ 次方根的唯一性。$\square$