例 9.55

依赖于

• 例 9.52

被以下题目直接调用

• 例 9.135

例 9.55

设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，$A^{\prime }A$ 的特征值为

$${\mu }_1\le {\mu }_2\le \cdots \le {\mu }_n.$$

求证：若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则

$$\sqrt{{\mu }_1}\le |\lambda |\le \sqrt{{\mu }_n}.$$

解答

证明 设 $\alpha$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量，即有 $A\alpha =\lambda \alpha$， 将此式共轭转置可得 $\overline{{\alpha }^{\prime }}{A}^{\prime }=\overline{\lambda }\overline{{\alpha }^{\prime }}$，再将上述两式乘在一起可得 $\overline{{\alpha }^{\prime }}{A}^{\prime }A\alpha =|\lambda {|}^2\overline{{\alpha }^{\prime }}\alpha$，最后由例 9.52 （Hermite 矩阵版本）即得结论。$\square$