例 9.54

依赖于

• 例 9.52

被以下题目直接调用

• 无

例 9.54

设 $\lambda =a+bi$ 是 $n$ 阶实矩阵 $A$ 的特征值，实对称矩阵 $A+A^{\prime }$ 和 Hermite 矩阵 $-\mathrm{i}(A-A^{\prime })$ 的特征值分别为

$${\mu }_1\le {\mu }_2\le \cdots \le {\mu }_n,{\nu }_1\le {\nu }_2\le \cdots \le {\nu }_n.$$

求证：${\mu }_1\le 2a\le {\mu }_n,{\nu }_1\le 2b\le {\nu }_n$。

解答

证明 设 $\alpha$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda =a+bi$ 的特征向量，即有 $A\alpha =\lambda \alpha$。将此式左乘 $\overline{{\alpha }^{\prime }}$ 可得 $\overline{{\alpha }^{\prime }}A\alpha =\lambda \overline{{\alpha }^{\prime }}\alpha$；再将此式共轭转置可得 $\overline{{\alpha }^{\prime }}{A}^{\prime }\alpha =\overline{\lambda }\overline{{\alpha }^{\prime }}\alpha$；最后将上述两式相加以及相减再乘以 $-\mathrm{i}$，可分别得到

$$\overline{{\alpha }^{\prime }}(A+A^{\prime })\alpha =(\lambda +\overline{\lambda })\overline{{\alpha }^{\prime }}\alpha =2a\overline{{\alpha }^{\prime }}\alpha ,$$ $$\overline{{\alpha }^{\prime }}(-\mathrm{i}(A-A^{\prime }))\alpha =-\mathrm{i}(\lambda -\overline{\lambda })\overline{{\alpha }^{\prime }}\alpha =2b\overline{{\alpha }^{\prime }}\alpha .$$

注意到 $\overline{{\alpha }^{\prime }}\alpha >0$，故由例 9.52（Hermite 矩阵版本）即得结论。$\square$