例 9.47

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• 例 9.133

例 9.47

设 $P$ 是 $n$ 阶正交矩阵，$D=\mathrm{diag}\{d_1,d_2,\cdots ,d_n\}$ 是实对角矩阵， 记 $m$ 和 $M$ 分别是诸 $|d_i|$ 中的最小者和最大者。求证：若 $\lambda$ 是矩阵 $PD$ 的特征值，则

$$m\le |\lambda |\le M.$$

解答

证明 设特征值 $\lambda$ 对应的特征向量为 $\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_n{)}^{\prime }\in {\mathbb{C}}^n$，即有 $PD\alpha =\lambda \alpha$， 上式共轭转置后可得 ${\bar{\alpha }}^{\prime }D{P}^{\prime }=\bar{\lambda }{\bar{\alpha }}^{\prime }$。将这两个等式相乘后可得

$${\bar{\alpha }}^{\prime }D{P}^{\prime }PD\alpha =\bar{\lambda }\lambda {\bar{\alpha }}^{\prime }\alpha ,$$

即有 ${\bar{\alpha }}^{\prime }{D}^2\alpha =|\lambda {|}^2{\bar{\alpha }}^{\prime }\alpha$。由假设可得

$$m^2\sum _{i=1}^n|a_i{|}^2\le \sum _{i=1}^n{d}_i^2|a_i{|}^2=|\lambda {|}^2\sum _{i=1}^n|a_i{|}^2\le M^2\sum _{i=1}^n|a_i{|}^2,$$

由此即得 $m\le |\lambda |\le M$。$\square$