例 9.133

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• 例 9.47

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• 无

例 9.133

设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，$A^{\prime }A$ 的全体特征值为 ${\lambda }_1^2,{\lambda }_2^2,\cdots ,{\lambda }_n^2$，其中 $0\le {\lambda }_i\le 1(1\le i\le n)$。证明：

$$|I_n-A|\ge (1-{\lambda }_1)(1-{\lambda }_2)\cdots (1-{\lambda }_n).$$

解答

证明 设 $A$ 的极分解为 $A=QS$，其中 $Q$ 是正交矩阵，$S$ 是半正定实对称矩阵，则 $A^{\prime }A=S^2$，从而 $S$ 的全体特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$， 满足 $0\le {\lambda }_i\le 1$，于是只要证明 $|I_n-QS|\ge (1-{\lambda }_1)(1-{\lambda }_2)\cdots (1-{\lambda }_n)$ 即可。 设 $P$ 为正交矩阵，使得 $P^{\prime }SP=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\}$，则

$$|I_n-QS|=|I_n-(P^{\prime }QP)(P^{\prime }SP)|.$$

注意到 $P^{\prime }QP$ 仍为正交矩阵，故不妨从一开始就假设 $S=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\}$。下面分两种情况进行讨论。

若存在某个 ${\lambda }_i=1$，则只要证明 $|I_n-QS|\ge 0$ 即可。由例 9.47 可知，$QS$ 特征值的模长都小于等于 $1$，于是 $I_n-QS$ 特征值的实部都大于等于零。注意到 $I_n-QS$ 的特征值或者是非负实数，或者是共轭虚数，故 $|I_n-QS|\ge 0$ 成立。

若所有的 ${\lambda }_i<1$，令 $T=I_n-S=\mathrm{diag}\{1-{\lambda }_1,1-{\lambda }_2,\cdots ,1-{\lambda }_n\}$， 则 $T$ 正定且 $|T|=(1-{\lambda }_1)(1-{\lambda }_2)\cdots (1-{\lambda }_n)$。再令 $R=T^{-1}=\mathrm{diag}\{{\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_n\}$，其中 ${\mu }_i=\frac{1}{1-{\lambda }_i}\ge 1$，这时只要证明 $|I_n-Q(I_n-T)|\ge |T|$，或等价地证明

$$|R-Q(R-I_n)|\ge 1$$

即可。任取 $R-Q(R-I_n)$ 的特征值 $\lambda \in \mathbb{C}$ 以及对应的特征向量 $\xi \in {\mathbb{C}}^n$，则

$$(R-Q(R-I_n))\xi =\lambda \xi ,(R-\lambda I_n)\xi =Q(R-I_n)\xi .$$

设 $\xi =(a_1,a_2,\cdots ,a_n{)}^{\prime }$，则

$${\overline{\xi }}^{\prime }(R-\overline{\lambda }{I}_n)(R-\lambda I_n)\xi ={\overline{\xi }}^{\prime }(R-I_n)Q^{\prime }Q(R-I_n)\xi ={\overline{\xi }}^{\prime }(R-I_n{)}^2\xi ,$$

从而有

$$\begin{array}{rl}& |{\mu }_1-\lambda {|}^2|a_1{|}^2+|{\mu }_2-\lambda {|}^2|a_2{|}^2+\cdots +|{\mu }_n-\lambda {|}^2|a_n{|}^2\\ & =({\mu }_1-1{)}^2|a_1{|}^2+({\mu }_2-1{)}^2|a_2{|}^2+\cdots +({\mu }_n-1{)}^2|a_n{|}^2.\end{array}$$

由于 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 不全为零，故存在某个 $i$，使得 $|{\mu }_i-\lambda |\le {\mu }_i-1$，这说明 $\lambda$ 的实部大于等于 $1$。因此 $\lambda$ 或者为大于等于 $1$ 的实数，或者为实部大于等于 $1$ 的共轭虚数，从而 $|R-Q(R-I_n)|\ge 1$ 成立。$\square$