例 9.37

依赖于

• 例 9.36

被以下题目直接调用

• 例 9.38

例 9.37

设 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4\}$ 是欧氏空间 $V$ 中的向量，其 Gram 矩阵为 $G=A^{\prime }A$，其中

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 4& 5& 3\\ 1& 1& -1& 3\\ 1& 7& 11& 9\\ 1& 0& -3& 1\end{array}\right).$$

试求 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4\}$ 的一组极大无关组，以及由这一极大无关组通过 Gram-Schmidt 方法得到的标准正交向量组。

解答

解 设 $A=(u_1,u_2,u_3,u_4)$ 为列分块，利用初等行变换容易验证 $\{u_1,u_2,u_4\}$ 是 $A$ 的列向量的极大无关组，再利用 Cauchy-Binet 公式可得

$$G\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 1& 2& 4\end{array}\right)>0,$$

但 $|G|=|A{|}^2=0$，故由例 9.36 (1) 可知 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4\}$ 是一组极大无关组，其 Gram 矩阵为

$$\begin{array}{rl}G({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4)& =\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 4& 1& 7& 0\\ 3& 3& 9& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 3\\ 1& 1& 3\\ 1& 7& 9\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}4& 12& 16\\ 12& 66& 78\\ 16& 78& 100\end{array}\right).\end{array}$$

经计算可得 $G$ 的 Cholesky 分解为

$$G({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4)=\left(\begin{array}{ccc}4& 12& 16\\ 12& 66& 78\\ 16& 78& 100\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 6& \sqrt{30}& 0\\ 8& \sqrt{30}& \sqrt{6}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& 6& 8\\ 0& \sqrt{30}& \sqrt{30}\\ 0& 0& \sqrt{6}\end{array}\right),$$

故由例 9.36 (3) 可知，经 Gram-Schmidt 正交化方法从 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4\}$ 得到的标准正交向量组 $\{{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_4\}$ 之间的线性关系为

$$({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_4)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4)P,$$

其中

$$P={\left(\begin{array}{ccc}2& 6& 8\\ 0& \sqrt{30}& \sqrt{30}\\ 0& 0& \sqrt{6}\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& -\frac{3}{\sqrt{30}}& -\frac{1}{\sqrt{6}}\\ 0& \frac{1}{\sqrt{30}}& -\frac{1}{\sqrt{6}}\\ 0& 0& \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right).$$

$\square$