例 9.35

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 9.38

例 9.35

设 $V,U$ 都是 $n$ 维欧氏空间，$\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 和 $\{f_1,f_2,\cdots ,f_n\}$ 分别是 $V$ 和 $U$ 的一组基（不一定是标准正交基）， 线性映射 $\phi :V\to U$ 满足 $\phi (e_i)=f_i(1\le i\le n)$。求证： $\phi$ 是保积同构的充要条件是这两组基的 Gram 矩阵相等，即

$$G(e_1,e_2,\cdots ,e_n)=G(f_1,f_2,\cdots ,f_n).$$

解答

证明 $\phi$ 把 $V$ 的一组基映为 $U$ 的一组基保证了 $\phi$ 是线性同构。若 $\phi$ 保持内积， 则 $(e_i,e_j)=(\phi (e_i),\phi (e_j))=(f_i,f_j)$，从而它们的 Gram 矩阵相同。 反之，若它们的 Gram 矩阵相同，任取 $\alpha ,\beta \in V$，设它们在基 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 下的坐标向量分别为 $x,y$，则 $\phi (\alpha ),\phi (\beta )$ 在基 $\{f_1,f_2,\cdots ,f_n\}$ 下的坐标向量也分别为 $x,y$，于是

$$(\phi (\alpha ),\phi (\beta ))=x^{\prime }G(f_1,f_2,\cdots ,f_n)y=x^{\prime }G(e_1,e_2,\cdots ,e_n)y=(\alpha ,\beta ),$$

故 $\phi :V\to U$ 是保积同构。$\square$