例 9.27

依赖于

• 例 9.18
• 例 9.2

被以下题目直接调用

• 无

例 9.27

设 $V$ 是 $n$ 维内积空间，$\phi$ 是 $V$ 上的线性变换，求证：

$$\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }=(\mathrm{Ker}\phi {)}^{\perp }.$$

解答

证明 由例 9.18 可知，只要证明 $\mathrm{Ker}\phi =(\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }{)}^{\perp }$ 即可。一方面，任取 $\alpha \in \mathrm{Ker}\phi$，则对任一 $\beta \in V$ 有 $(\alpha ,{\phi }^{\ast }(\beta ))=(\phi (\alpha ),\beta )=(0,\beta )=0$，即 $\alpha \in (\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }{)}^{\perp }$，于是 $\mathrm{Ker}\phi \subseteq (\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }{)}^{\perp }$。另一方面， 任取 $\alpha \in (\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }{)}^{\perp }$，则对任一 $\beta \in V$ 有 $0=(\alpha ,{\phi }^{\ast }(\beta ))=(\phi (\alpha ),\beta )$，令 $\beta =\phi (\alpha )$ 或由例 9.2 即得 $\phi (\alpha )=0$，即 $\alpha \in \mathrm{Ker}\phi$， 于是 $(\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }{)}^{\perp }\subseteq \mathrm{Ker}\phi$， 因此结论得证。$\square$