例 9.18

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例 9.18

设 $U_{1}, U_{2}, U$ 是 $n$ 维内积空间 $V$ 的子空间，求证：
$(1) (2) (3) (4) (U^{⊥})^{⊥} = U; (U_{1} + U_{2})^{⊥} = U_{1}^{⊥} \cap U_{2}^{⊥}; (U_{1} \cap U_{2})^{⊥} = U_{1}^{⊥} + U_{2}^{⊥}; V^{⊥} = 0, 0^{⊥} = V .$

解答

证明 (1) 因为 $V = U^{⊥} \oplus (U^{⊥})^{⊥}$ ，故 $dim (U^{⊥})^{⊥} = n - dim U^{⊥} = dim U$ 。另一方面，显然 $U \subseteq (U^{⊥})^{⊥}$ ，因此 $(U^{⊥})^{⊥} = U$ 。

(2) 显然 $(U_{1} + U_{2})^{⊥} \subseteq U_{1}^{⊥}$ ， $(U_{1} + U_{2})^{⊥} \subseteq U_{2}^{⊥}$ ，于是 $(U_{1} + U_{2})^{⊥} \subseteq U_{1}^{⊥} \cap U_{2}^{⊥}$ 。反之，对任一 $α \in U_{1}^{⊥} \cap U_{2}^{⊥}$ ， $β \in U_{1} + U_{2}$ ，记 $β = β_{1} + β_{2}$ ，其中 $β_{1} \in U_{1}, β_{2} \in U_{2}$ ，则

(α, β) = (α, β_{1} + β_{2}) = (α, β_{1}) + (α, β_{2}) = 0,

故 $α \in (U_{1} + U_{2})^{⊥}$ ，于是 $U_{1}^{⊥} \cap U_{2}^{⊥} \subseteq (U_{1} + U_{2})^{⊥}$ 。因此 $(U_{1} + U_{2})^{⊥} = U_{1}^{⊥} \cap U_{2}^{⊥}$ 。

(3) 由 (1) 及 (2)，有 $(U_{1}^{⊥} + U_{2}^{⊥})^{⊥} = (U_{1}^{⊥})^{⊥} \cap (U_{2}^{⊥})^{⊥} = U_{1} \cap U_{2}$ 。

(4) 显然成立。 $□$

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