例 9.19 依赖于 例 9.18 被以下题目直接调用 例 9.20 例 9.19 设 S 是 n 维内积空间 V 的子集，证明： (1) S⊥={α∈V∣(α,S)=0} 是 V 的子空间； (2) (S⊥)⊥ 等于由 S 生成的子空间。 解答 证明 (1) 显然成立，下证明 (2)。设 S 生成的子空间为 U，一方面有 U⊥⊆S⊥。 另一方面，对任一 v∈S⊥, u∈U，将 u 表示为 S 中向量的线性组合， u=a1x1+⋯+akxk，其中 xi∈S。由 (xi,v)=0 可得 (u,v)=0， 于是 v∈U⊥，从而 S⊥⊆U⊥，因此 S⊥=U⊥。 最后由例 9.18 (1) 可知 (S⊥)⊥=(U⊥)⊥=U。□
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