例 9.15

依赖于

• 例 9.14

被以下题目直接调用

• 例 9.16
• 例 9.17

例 9.15

证明：若用 Gram-Schmidt 方法将线性无关的向量组 $u_1,u_2,\cdots ,u_m$ 变成正交向量组 $v_1,v_2,\cdots ,v_m$，则这两组向量的 Gram 矩阵的行列式值不变，即

$$|G(u_1,u_2,\cdots ,u_m)|=|G(v_1,v_2,\cdots ,v_m)|=\Vert v_1{\Vert }^2\Vert v_2{\Vert }^2\cdots \Vert v_m{\Vert }^2.$$

解答

证明 由 Gram-Schmidt 正交化过程可得

$$(u_1,u_2,\cdots ,u_m)=(v_1,v_2,\cdots ,v_m)B,$$

其中 $B$ 是一个主对角元全为 $1$ 的上三角矩阵，再由例 9.14 的证明过程可得

$$G(u_1,u_2,\cdots ,u_m)=B^{\prime }G(v_1,v_2,\cdots ,v_m)B.$$

注意到 $G(v_1,v_2,\cdots ,v_m)$ 是主对角元分别为 $\Vert v_1{\Vert }^2,\Vert v_2{\Vert }^2,\cdots ,\Vert v_m{\Vert }^2$ 的对角矩阵，故上式两边同取行列式即得结论。$\square$