例 9.138

依赖于

• 例 4.2

被以下题目直接调用

• 例 9.139

例 9.138

设 $V,U$ 分别为 $n,m$ 维欧氏空间，$\phi :V\to U$ 为线性映射，求证：存在唯一的线性映射 $\psi :U\to V$，满足如下条件：

$$(1)\phi \psi \phi =\phi ;(2)\psi \phi \psi =\psi ;(3)\psi \phi \text{ 与 }\phi \psi \text{ 都是自伴随算子}.$$

上述 $\psi$ 称为 $\phi$ 的 Moore-Penrose 广义逆，记为 ${\phi }^{†}$。

解答

证明 先证存在性。记 $\xi :(\mathrm{Ker}\phi {)}^{\perp }\to \mathrm{Im}\phi$ 为 $\phi$ 在 $(\mathrm{Ker}\phi {)}^{\perp }$ 上的限制，容易验证 $\mathrm{Ker}\xi =0$ 并且

$$\dim (\mathrm{Ker}\phi {)}^{\perp }=n-\dim \mathrm{Ker}\phi =\dim \mathrm{Im}\phi ,$$

故由线性映射的维数公式可知，$\xi$ 为线性同构。构造映射 $\psi :U\to V$ 如下：

$$\psi (u)=\{\begin{array}{ll}{\xi }^{-1}(u),& \text{若 }u\in \mathrm{Im}\phi ,\\ 0,& \text{若 }u\in (\mathrm{Im}\phi {)}^{\perp }.\end{array}$$

因为 $U=\mathrm{Im}\phi \oplus (\mathrm{Im}\phi {)}^{\perp }$，故由例 4.2 可知， 上述定义可以唯一地延拓到整个 $U$ 上并使 $\psi$ 成为线性映射。考虑 $\phi$ 的奇异值分解， 设 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 和 $\{f_1,f_2,\cdots ,f_m\}$ 分别为 $V$ 和 $U$ 的标准正交基， 使得 $\phi$ 在这两组基下的表示矩阵为

$$\left(\begin{array}{cc}S& O\\ O& O\end{array}\right),$$

其中 $S=\mathrm{diag}\{{\sigma }_1,{\sigma }_2,\cdots ,{\sigma }_r\}$， ${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge \cdots \ge {\sigma }_r>0$ 为 $\phi$ 的全体正奇异值，即有

$$\phi (e_i)={\sigma }_i{f}_i(1\le i\le r),\phi (e_j)=0(r+1\le j\le n).$$

容易验证

$$\mathrm{Ker}\phi =L(e_{r+1},\cdots ,e_n),(\mathrm{Ker}\phi {)}^{\perp }=L(e_1,\cdots ,e_r),$$ $$\mathrm{Im}\phi =L(f_1,\cdots ,f_r),(\mathrm{Im}\phi {)}^{\perp }=L(f_{r+1},\cdots ,f_m),$$

并且

$$\psi (f_i)=\frac{1}{{\sigma }_i}{e}_i(1\le i\le r),\psi (f_j)=0(r+1\le j\le m).$$

容易验证 $\phi ,\psi$ 满足题中的 3 个条件，这就证明了 $\phi$ 的广义逆的存在性。

再证唯一性。设 ${\phi }^{†}$ 和 ${\phi }^{♯}$ 是 $\phi$ 的两个广义逆，我们来证明它们一定相等。 反复利用广义逆的 3 个条件，考虑如下计算：

$$\begin{array}{rl}{\phi }^{†}& ={\phi }^{†}\phi {\phi }^{†}=({\phi }^{†}\phi {)}^{\ast }{\phi }^{†}={\phi }^{\ast }({\phi }^{†}{)}^{\ast }{\phi }^{†}={\phi }^{\ast }({\phi }^{†}{)}^{\ast }{\phi }^{†}{\phi }^{♯}\phi \\ & ={\phi }^{\ast }({\phi }^{♯}{)}^{\ast }{\phi }^{\ast }({\phi }^{†}{)}^{\ast }{\phi }^{†}=({\phi }^{♯}\phi {)}^{\ast }({\phi }^{†}\phi {)}^{\ast }{\phi }^{†}={\phi }^{♯}\phi {\phi }^{†}\phi {\phi }^{†}={\phi }^{♯}\phi {\phi }^{†},\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\phi }^{♯}& ={\phi }^{♯}\phi {\phi }^{♯}={\phi }^{♯}(\phi {\phi }^{♯}{)}^{\ast }={\phi }^{♯}({\phi }^{♯}{)}^{\ast }{\phi }^{\ast }={\phi }^{♯}({\phi }^{♯}{)}^{\ast }{\phi }^{\ast }({\phi }^{†}{)}^{\ast }{\phi }^{\ast }\\ & ={\phi }^{♯}(\phi {\phi }^{♯}{)}^{\ast }(\phi {\phi }^{†}{)}^{\ast }={\phi }^{♯}\phi {\phi }^{♯}\phi {\phi }^{†}={\phi }^{♯}\phi {\phi }^{†},\end{array}$$

由此即得 ${\phi }^{♯}={\phi }^{†}$。$\square$