例 9.116

依赖于

• 例 6.91
• 例 9.115

被以下题目直接调用

• 无

例 9.116

设 $A,B$ 为 $n$ 阶实矩阵，其中 $A$ 的 $n$ 个特征值都是正实数，并且满足 $AB+B{A}^{\prime }=2A{A}^{\prime }$。证明：

$$\begin{array}{ll}(1)& B\text{ 必为对称矩阵};\\ (2)& A\text{ 为对称矩阵当且仅当 }A=B,\text{ 也当且仅当 }\mathrm{tr}(B^2)=\mathrm{tr}(A{A}^{\prime });\\ (3)& |B|\ge |A|,\text{ 且等号成立的充要条件是 }A=B.\end{array}$$

解答

证明 (1) 考虑矩阵方程

$$AX-X(-A^{\prime })=2A{A}^{\prime },\text{\hspace{1em}(9.18)}$$

由于 $A$ 的特征值都是正实数，故 $-A^{\prime }$ 的特征值都是负实数，从而它们没有公共的特征值。 由例 6.91 可知，矩阵方程 (9.18) 存在唯一一解 $X=B\in M_n(\mathbb{R})$。将等式 $AB+B{A}^{\prime }=2A{A}^{\prime }$ 两边同时转置，可得 $A{B}^{\prime }+B^{\prime }{A}^{\prime }=2A{A}^{\prime }$，即 $X=B^{\prime }$ 也是矩阵方程 (9.18) 的解，由解的唯一性可得 $B=B^{\prime }$，即 $B$ 为对称矩阵。

(2) 若 $A$ 为对称矩阵，则 $X=A$ 也是矩阵方程 (9.18) 的解，由解的唯一性可得 $B=A$，于是 $B^2=A{A}^{\prime }$，从而 $\mathrm{tr}(B^2)=\mathrm{tr}(A{A}^{\prime })$。 反之，若 $\mathrm{tr}(B^2)=\mathrm{tr}(A{A}^{\prime })$，则

$$\begin{array}{rl}\mathrm{tr}((A-B)(A-B{)}^{\prime })& =\mathrm{tr}((A-B)(A^{\prime }-B))\\ & =\mathrm{tr}(A{A}^{\prime }+B^2-(AB+B{A}^{\prime }))\\ & =\mathrm{tr}(B^2)-\mathrm{tr}(A{A}^{\prime })=0,\end{array}$$

由迹的正定性可得 $A-B=O$，即 $A=B$ 是对称矩阵。

(3) 注意到 $AB+(AB{)}^{\prime }=2A{A}^{\prime }$ 为正定阵且 $|A|>0$，故由例 9.115 可得

$$|2A{A}^{\prime }|\le 2^n|AB|,$$

由此可得 $|B|\ge |A|$，等号成立当且仅当 $AB$ 为对称矩阵，即当且仅当 $AB=A{A}^{\prime }$， 这也当且仅当 $A=B$。$\square$