例 9.115

依赖于

• 例 8.45

被以下题目直接调用

• 例 9.116

例 9.115

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A+A^{\prime }$ 正定（即 $A$ 是亚正定阵），求证：

$$|A+A^{\prime }|\le 2^n|A|,$$

且等号成立的充要条件是 $A$ 为对称矩阵。

解答

证明 注意到矩阵 $A$ 的如下分解：

$$A=\frac{1}{2}(A+A^{\prime })+\frac{1}{2}(A-A^{\prime }),$$

其中 $\frac{1}{2}(A+A^{\prime })$ 是正定阵，$\frac{1}{2}(A-A^{\prime })$ 是实反对称矩阵，故由例 8.45 可得

$$|A|\ge \frac{1}{2^n}|A+A^{\prime }|,$$

等号成立的充要条件是 $\frac{1}{2}(A-A^{\prime })=O$，即 $A$ 为对称矩阵。$\square$