例 9.10

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• 例 2.5

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• 无

例 9.10

证明：在 ${\mathbb{R}}^n$（取标准内积）中存在一个非零线性变换 $\phi$，使 $\phi (\alpha )\perp \alpha$ 对任意的 $\alpha \in {\mathbb{R}}^n$ 成立，但是在 ${\mathbb{C}}^n$（取标准内积）中这样的非零线性变换不存在。

解答

证明 任取一个 $n$ 阶非零实反对称矩阵 $A$，对任意的 $\alpha \in {\mathbb{R}}^n$，定义 $\phi (\alpha )=A\alpha$，则由例 2.5 可得 $(\alpha ,\phi (\alpha ))={\alpha }^{\prime }A\alpha =0$。下面给出 ${\mathbb{C}}^n$ 情形的 3 种证法。 用反证法来证明，设在 ${\mathbb{C}}^n$（取标准内积）中存在满足条件的非零线性变换 $\phi$。

证法 1 设 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 是 ${\mathbb{C}}^n$ 的标准单位列向量， $\phi$ 在这组基下的表示矩阵为 $A=(a_{ij})$，则对任意的 $\alpha \in {\mathbb{C}}^n$， $\phi (\alpha )=A\alpha$。由假设可知，对任意的 $\alpha \in {\mathbb{C}}^n$，有 $(\phi (\alpha ),\alpha )={\alpha }^{\prime }{A}^{\prime }\overline{\alpha }=0$。取 $\alpha =e_i$，代入条件可得 $a_{ii}=0(1\le i\le n)$。取 $\alpha =e_i+e_j$，代入条件可得 $a_{ij}+a_{ji}=0(1\le i<j\le n)$。取 $\alpha =e_i+\mathrm{i}{e}_j$，代入条件可得 $a_{ij}-a_{ji}=0(1\le i<j\le n)$。于是 $a_{ij}=a_{ji}=0(1\le i<j\le n)$， 从而 $A=O$，这与 $\phi \ne 0$ 矛盾。

证法 2 首先，我们证明 $\phi$ 的特征值全部为零，设 ${\lambda }_0$ 是 $\phi$ 的特征值， $\alpha$ 是对应的特征向量，则 $0=(\phi (\alpha ),\alpha )=({\lambda }_0\alpha ,\alpha )={\lambda }_0(\alpha ,\alpha )$， 由于 $(\alpha ,\alpha )\ne 0$，故只能是 ${\lambda }_0=0$。其次，由 Jordan 标准型理论可知，存在 ${\mathbb{C}}^n$ 的一组基 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$，使得 $\phi$ 在这组基下的表示矩阵为 $\mathrm{diag}\{J_{r_1}(0),J_{r_2}(0),\cdots ,J_{r_k}(0)\}$。若 $\phi$ 不可对角化， 则必存在某个 $r_i>1$，不妨设 $r_1>1$，于是 $\phi (e_1)=0$，$\phi (e_2)=e_1$。 由 $(\phi (e_2),e_2)=0$ 可得 $(e_1,e_2)=0$，再由 $(\phi (e_1+e_2),e_1+e_2)=0$ 可得 $(e_1,e_1)=0$，从而 $e_1=0$，这与假设矛盾， 于是 $\phi$ 可对角化。最后，由 $\phi$ 的 Jordan 标准型是零矩阵可知 $\phi =0$， 这与假设矛盾。

证法 3 对任意的 $\alpha ,\beta \in {\mathbb{C}}^n$，有

$$\begin{array}{rl}(\phi (\alpha ),\beta )=& \frac{1}{4}(\phi (\alpha +\beta ),\alpha +\beta )-\frac{1}{4}(\phi (\alpha -\beta ),\alpha -\beta )\\ & +\frac{\mathrm{i}}{4}(\phi (\alpha +\mathrm{i}\beta ),\alpha +\mathrm{i}\beta )-\frac{\mathrm{i}}{4}(\phi (\alpha -\mathrm{i}\beta ),\alpha -\mathrm{i}\beta )=0.\end{array}$$

令 $\beta =\phi (\alpha )$，由内积的正定性可得 $\phi (\alpha )=0$ 对任意的 $\alpha \in {\mathbb{C}}^n$ 成立，即 $\phi =0$，这与假设矛盾。因此在 ${\mathbb{C}}^n$ 中满足条件的非零线性变换不存在。$\square$