第 8 章解答题 4

依赖于

• 例 1.14

被以下题目直接调用

• 无

第 8 章解答题 4

化下列实二次型为标准型：

$$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\sum _{i=1}^n{x}_i^2+\sum _{i=1}^{n-1}{x}_i{x}_{i+1}.$$

解答

解法 1 用教材 [1] 介绍的配方法可得 $f$ 的标准型为

$${\left(x_1+\frac{1}{2}{x}_2\right)}^2+\frac{3}{4}{\left(x_2+\frac{2}{3}{x}_3\right)}^2+\cdots +\frac{n-1}{2n-2}{\left(x_{n-1}+\frac{n-1}{n}{x}_n\right)}^2+\frac{n+1}{2n}{x}_n^2.$$

解法 2 将二次型配方为

$$\frac{1}{2}{x}_1^2+\frac{1}{2}(x_1+x_2{)}^2+\frac{1}{2}(x_2+x_3{)}^2+\cdots +\frac{1}{2}(x_{n-1}+x_n{)}^2+\frac{1}{2}{x}_n^2,$$

从而 $f$ 至少是半正定的。若上式等于零，则显然有 $x_1=x_2=\cdots =x_n=0$，因此二次型 $f$ 是正定型。 解法 3 二次型 $f$ 的系数矩阵 $A$ 是一个三对角矩阵，主对角元全为 1，上下次对角元全为 $\frac{1}{2}$， 并且 $A$ 的每个顺序主子式形状相同。由例 1.14 可知每个顺序主子式均大于零，于是 $A$ 是正定阵， 从而二次型 $f$ 为正定型。