例 8.8

依赖于

• 例 8.7

被以下题目直接调用

• 无

例 8.8

设 $\alpha$ 是 $n$ 维实列向量且 ${\alpha }^{\prime }\alpha =1$，求矩阵 $I_n-2\alpha {\alpha }^{\prime }$ 的正负惯性指数。

解答

解 构造分块对称矩阵

$$M=\left(\begin{array}{cc}{I}_n& \sqrt{2}\alpha \\ \sqrt{2}{\alpha }^{\prime }& 1\end{array}\right),$$

由例 8.7 可知，$I_n-2\alpha {\alpha }^{\prime }$ 的正惯性指数等于 $n-1$，负惯性指数等于 $1$。$\square$