例 8.73

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• 例 8.71

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• 无

例 8.73

设 $A,B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，其中 $B$ 半正定且满足 $|A+iB|=0$，求证：存在非零实列向量 $\alpha$，使得

$$A\alpha =B\alpha =0.$$

解答

证明 由 $|A+iB|=0$ 可知，存在非零复列向量 $\gamma =\alpha +i\beta$，其中 $\alpha ,\beta \in {\mathbb{R}}^n$，使得

$$(A+iB)\gamma =(A+iB)(\alpha +i\beta )=0.$$

按实部和虚部整理后可得

$$A\alpha -B\beta =0,\text{\hspace{1em}(8.4)}$$ $$A\beta +B\alpha =0.\text{\hspace{1em}(8.5)}$$

将 (8.5) 式左乘 ${\alpha }^{\prime }$ 减去 (8.4) 式左乘 ${\beta }^{\prime }$，注意到 ${\alpha }^{\prime }A\beta =({\alpha }^{\prime }A\beta {)}^{\prime }={\beta }^{\prime }A\alpha$，故可得

$${\alpha }^{\prime }B\alpha +{\beta }^{\prime }B\beta =0.$$

由 $B$ 的半正定性可得 ${\alpha }^{\prime }B\alpha ={\beta }^{\prime }B\beta =0$，再由例 8.71 可得 $B\alpha =B\beta =0$，从而 $A\alpha =A\beta =0$。因为 $\gamma \ne 0$，故 $\alpha ,\beta$ 中至少有一个是非零实列向量，从而结论得证。$\square$