例 8.69

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• 例 8.68

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• 无

例 8.69

设 $A,B$ 都是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，求证：

$$\frac{1}{n}\mathrm{tr}(AB)\ge |A{|}^{1/n}|B{|}^{1/n},$$

并求等号成立的充要条件。

解答

证明 设 $C$ 为 $n$ 阶实矩阵，使得 $B=C^{\prime }C$，则 $CA{C}^{\prime }=(a_{ij})$ 仍为半正定阵。注意到

$$\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(A{C}^{\prime }C)=\mathrm{tr}(CA{C}^{\prime })=\sum _{i=1}^n{a}_{ii},$$

故由例 8.68 和基本不等式可得

$$\begin{array}{rl}|A{|}^{1/n}|B{|}^{1/n}& =|A{|}^{1/n}|C^{\prime }C{|}^{1/n}=|CA{C}^{\prime }{|}^{1/n}\\ & \le (a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}{)}^{1/n}\le \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{a}_{ii}\\ & =\frac{1}{n}\mathrm{tr}(AB).\end{array}$$

等号成立的充要条件是以下两种情形之一成立：

$$\begin{array}{l}(1)a_{11}=a_{22}=\cdots =a_{nn}=0,\\ \text{此时 }\mathrm{tr}(AB)=0,\text{ 故由例 }8.30\text{ 可知 }AB=O;\\ (2)a_{11}=a_{22}=\cdots =a_{nn}=a>0,\\ \text{此时 }CA{C}^{\prime }=a{I}_n,\text{ 故 }AB=A{C}^{\prime }C=a{I}_n.\end{array}$$

综上所述，等号成立的充要条件是 $AB=k{I}_n$，其中 $k\ge 0$。$\square$