例 8.54

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 8.55

例 8.54

设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶正定实对称矩阵，$P_{n-1}$ 是 $A$ 的第 $n-1$ 个顺序主子式，求证：

$$|A|\le a_{nn}{P}_{n-1}.$$

解答

证明 设

$$A=\left(\begin{array}{cc}{A}_{n-1}& \alpha \\ {\alpha }^{\prime }& a_{nn}\end{array}\right),$$

用第三类分块初等变换求得

$$\begin{array}{rl}|A|& =\left|\begin{array}{cc}{A}_{n-1}& \alpha \\ {\alpha }^{\prime }& a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{A}_{n-1}& \alpha \\ O& a_{nn}-{\alpha }^{\prime }{A}_{n-1}^{-1}\alpha \end{array}\right|\\ & =(a_{nn}-{\alpha }^{\prime }{A}_{n-1}^{-1}\alpha )|A_{n-1}|.\end{array}$$

因为 $A$ 正定，所以 $A_{n-1}$ 也正定，从而 $A_{n-1}^{-1}$ 也正定，于是 ${\alpha }^{\prime }{A}_{n-1}^{-1}\alpha \ge 0$。因此

$$|A|=(a_{nn}-{\alpha }^{\prime }{A}_{n-1}^{-1}\alpha )|A_{n-1}|\le a_{nn}|A_{n-1}|=a_{nn}{P}_{n-1}.\square$$