例 8.43

依赖于

• 例 8.26

被以下题目直接调用

• 例 8.65
• 第 8 章解答题 9

例 8.43

设 $A=(a_{ij}),B=(b_{ij})$ 都是 $n$ 阶正定实对称矩阵，求证： $A,B$ 的 Hadamard 乘积 $H=A\circ B=(a_{ij}{b}_{ij})$ 也是正定阵。

解答

证明 因为 $B$ 是正定阵，故由例 8.26 可知，存在可逆实矩阵 $C$，使得 $B=C^{\prime }C$。 设 $C=(c_{ij})$，则 $b_{ij}={\sum }_{k=1}^n{c}_{ki}{c}_{kj}$。作二次型

$$\begin{array}{rl}f(x)=x^{\prime }Hx& =\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{b}_{ij}{x}_i{x}_j=\sum _{i,j=1}^n\left(\sum _{k=1}^n{a}_{ij}(c_{ki}{c}_{kj})x_i{x}_j\right)\\ & =\sum _{k=1}^n\left(\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}(c_{ki}{x}_i)(c_{kj}{x}_j)\right)=\sum _{k=1}^n{y}_k^{\prime }A{y}_k,\end{array}$$

其中 $y_k=(c_{k1}{x}_1,c_{k2}{x}_2,\cdots ,c_{kn}{x}_n{)}^{\prime }$。因为 $C$ 可逆，所以当 $x\ne 0$ 时， 至少有一个 $y_k\ne 0$，因此由 $A$ 的正定性可得 $f(x)>0$，于是 $f$ 是正定型， 从而 $H$ 是正定阵。$\square$