例 8.33

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 8.34

例 8.33

化下列实二次型为标准型：

$$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\sum _{i=1}^n{x}_i^2+\sum _{1\le i<j\le n}{x}_i{x}_j.$$

解答

解法 1 用教材 [1] 介绍的配方法可将原式化为

$$\begin{array}{rl}& {\left(x_1+\frac{1}{2}\sum _{i=2}^n{x}_i\right)}^2+\frac{3}{4}{\left(x_2+\frac{1}{3}\sum _{i=3}^n{x}_i\right)}^2+\cdots \\ & +\frac{n}{2n-2}{\left(x_{n-1}+\frac{1}{n}{x}_n\right)}^2+\frac{n+1}{2n}{x}_n^2.\end{array}$$

解法 2 将原式配方为

$$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{x}_i^2+\frac{1}{2}{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}^2.$$

容易验证对不全为零的实数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$， $f(a_1,a_2,\cdots ,a_n)>0$，于是 $f$ 是正定型，从而其规范标准型为 $y_1^2+y_2^2+\cdots +y_n^2$。$\square$