例 8.20

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 8.21

例 8.20

设 $A$ 为 $n$ 阶复对称矩阵且秩等于 $r$，求证：$A$ 可分解为 $A=T^{\prime }T$， 其中 $T$ 是秩等于 $r$ 的 $n$ 阶复矩阵。

解答

证明 $A$ 合同于对角矩阵，即存在可逆矩阵 $C$，使得

$$A=C^{\prime }\mathrm{diag}\{c_1,\cdots ,c_r,0,\cdots ,0\}C,$$

其中 $c_i\ne 0(1\le i\le r)$。令 $d_i=\sqrt{c_i}$（取定一个平方根即可），

$$D=\mathrm{diag}\{d_1,\cdots ,d_r,0,\cdots ,0\},$$

则 $A=(DC{)}^{\prime }(DC)$。令 $T=DC$ 即得结论。$\square$