例 8.14

依赖于

例 8.14

设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称矩阵且非主对角元都是负数，求证： $A^{- 1}$ 的每个元素都是正数。

证明对阶数 $n$ 进行归纳。当 $n = 1$ 时结论显然成立，设结论对 $n - 1$ 阶成立，现证明 $n$ 阶的情形。设

A = (A_{n - 1} α^{'} α a_{nn}),

其中 $A_{n - 1}$ 是 $A$ 的第 $n - 1$ 个顺序主子阵，从而 $A_{n - 1}$ 是 $n - 1$ 阶正定实对称矩阵且非主对角元都是负数，故由归纳假设可知 $A_{n - 1}^{- 1}$ 的每个元素都是正数。利用分块初等变换可求出

A^{- 1} = (A_{n - 1}^{- 1} + d_{n}^{- 1} A_{n - 1}^{- 1} α α^{'} A_{n - 1}^{- 1} - d_{n}^{- 1} α^{'} A_{n - 1}^{- 1} - d_{n}^{- 1} A_{n - 1}^{- 1} α d_{n}^{- 1}),

其中 $d_{n} = a_{nn} - α^{'} A_{n - 1}^{- 1} α = ∣ A ∣/∣ A_{n - 1} ∣ > 0$ 。注意到 $A_{n - 1}^{- 1}$ 的每个元素都是正数，且 $α$ 的每个元素都是负数，故 $A^{- 1}$ 的每个元素都是正数。 $□$