例 8.15

依赖于

• 例 8.14

被以下题目直接调用

• 无

例 8.15

设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶正定实对称矩阵，其逆阵 $A^{-1}=(b_{ij})$，求证： $a_{ii}{b}_{ii}\ge 1$，且等号成立当且仅当 $A$ 的第 $i$ 行和列的所有元素除了 $a_{ii}$ 之外全为零。

解答

证明 对换 $A$ 的第 $i,n$ 行和列，可将 $a_{ii}$ 换到第 $(n,n)$ 位置，这相当于合同变换 $P_{in}A{P}_{in}$。此时 $(P_{in}A{P}_{in}{)}^{-1}=P_{in}{A}^{-1}{P}_{in}$，即对换了 $A^{-1}$ 的第 $i,n$ 行和列，$b_{ii}$ 也换到了第 $(n,n)$ 位置。因此不失一般性，只需证明 $a_{nn}{b}_{nn}\ge 1$，且等号成立当且仅当 $A$ 的第 $n$ 行和列的所有元素除了 $a_{nn}$ 之外全为零即可。采用与例 8.14 相同的记号和论证，可得 $b_{nn}=d_n^{-1}$，再由 $A_{n-1}$ 的正定性可得

$$b_{nn}^{-1}=d_n=a_{nn}-{\alpha }^{\prime }{A}_{n-1}^{-1}\alpha \le a_{nn},$$

即有 $a_{nn}{b}_{nn}\ge 1$，且等号成立当且仅当 $\alpha =0$。$\square$