例 8.11

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• 例 9.59

例 8.11

设 $A$ 是 $n$ 阶正定实对称矩阵，求证：

$$B=\left(\begin{array}{cc}A& -I_n\\ -I_n& A^{-1}\end{array}\right)$$

是半正定阵。

解答

证明 将 $B$ 的第一分块行左乘 $A^{-1}$ 加到第二分块行上，再将第一分块列右乘 $A^{-1}$ 加到第二分块列上，于是 $B$ 合同于

$$\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& O\end{array}\right)$$

，这是一个半正定矩阵。$\square$