例 9.59

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• 例 8.11

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• 无

例 9.59

求证：若 $A$ 是 $n$ 阶正定实对称矩阵，则 $A+A^{-1}\ge 2I_n$。

解答

证法 1 设 $P$ 是正交矩阵，使得 $P^{\prime }AP=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\}$， 其中 ${\lambda }_i>0$ 是 $A$ 的特征值，则

$$P^{\prime }{A}^{-1}P=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1^{-1},{\lambda }_2^{-1},\cdots ,{\lambda }_n^{-1}\}.$$

因为 ${\lambda }_i+{\lambda }_i^{-1}\ge 2$，故 $P^{\prime }AP+P^{\prime }{A}^{-1}P-2I_n$ 是半正定阵，由此即得 $A+A^{-1}\ge 2I_n$。

证法 2 注意到

$$A+A^{-1}-2I_n=\left(\begin{array}{cc}{I}_n& I_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& -I_n\\ -I_n& A^{-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{I}_n\\ I_n\end{array}\right),$$

故由例 8.11 可知 $A+A^{-1}\ge 2I_n$。$\square$