例 8.1

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• 例 8.6

例 8.1

设 $\mathrm{diag}\{A_1,A_2,\cdots ,A_m\}$ 是分块对角矩阵，其中 $A_i$ 都是对称矩阵，求证： $\mathrm{diag}\{A_1,A_2,\cdots ,A_m\}$ 合同于 $\mathrm{diag}\{A_{i_1},A_{i_2},\cdots ,A_{i_m}\}$，其中 $A_{i_1},A_{i_2},\cdots ,A_{i_m}$ 是 $A_1,A_2,\cdots ,A_m$ 的一个排列。

解答

证明 对换分块对角矩阵的第 $i,j$ 分块行，再对换第 $i,j$ 分块列，这是一个合同变换，变换的结果是将第 $(i,i)$ 分块和第 $(j,j)$ 分块对换了位置。又任意一个排列都可以通过若干次对换来实现， 因此两个分块对角矩阵 $\mathrm{diag}\{A_1,A_2,\cdots ,A_m\}$ 和 $\mathrm{diag}\{A_{i_1},A_{i_2},\cdots ,A_{i_m}\}$ 合同。$\square$