问题 2022S07

依赖于

• 问题 2021A03

被以下题目直接调用

• 无

问题 2022S07

设 A 是数域 K 上的 n 阶矩阵, 其特征多项式等于极小多项式, 证明: 矩阵方程 $XA=A^{\prime }X$ 的解是 K 上的对称阵.

解答

设 $f(\lambda )$ 是 A 的特征多项式, 也是 A 的极小多项式, 则由有理标准型理论可知, 存在非异阵 $P\in M_n(\mathbb{K})$ , 使得 $P^{-1}AP=F=C(f(x))$ 为 A 的有理标准型 (由一个友阵 $C(f(x))$ 构成). 由 $XA=A^{\prime }X$ 可得 $(P^{\prime }XP)F=F^{\prime }(P^{\prime }XP)$ , 再由 问题 2021A03 可得 $P^{\prime }XP=Y$ 为对称阵, 从而 $X=(P^{-1}{)}^{\prime }Y{P}^{-1}$ 也为对称阵.