问题 2021A03

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• 问题 2022S07

问题 2021A03

设多项式 $f(x)=x^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n$，A 是 $f(x)$ 的友阵 (空白处全为零):

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccccc}& & & & -a_n\\ 1& & & & -a_{n-1}\\ & \ddots & & & ⋮\\ & & \ddots & & ⋮\\ & & & 1& -a_1\end{array}\right).$$

设 n 阶矩阵 X 满足 $XA=A^{\prime }X$，求证：X 是对称阵.

解答

设 $X=(x_{ij})$，则由 $XA=A^{\prime }X$ 经具体的计算可得 $x_{ij}=x_{i+1,j-1}(1\le i\le n-1,2\le j\le n)$。因此对任意的 $1\le i<j\le n$，有 $x_{ij}=x_{i+1,j-1}=\cdots =x_{j-1,i+1}=x_{ji}$，即 X 为对称阵。