问题 2017S08

依赖于

• 问题 2017S06
• 例 6.63
• 例 7.26
• 例 7.30

被以下题目直接调用

• 无

问题 2017S08

设 n 阶实方阵 $A=\left(\begin{array}{cccccc}{a}_1& 1& & & & \\ 1& a_2& 1& & & \\ & 1& a_3& 1& & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & 1& a_{n-1}& 1\\ & & & & 1& a_n\end{array}\right)$.

(1) 求证: A 有 n 个互不相同的特征值; (2) 试求实线性空间 $C(A)=\{B\in M_n(\mathbb{R})\mid AB=BA\}$ 的维数.

解答

(1) 由 问题 2017S06 可知, 实对称阵 A 有完全的特征向量系, 即任一特征值的代数重数等于其几何重数. 任取 A 的实特征值 ${\lambda }_0$ , 注意到矩阵

$${\lambda }_0{\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccccc}{\lambda }_0-a_1& -1& & & & \\ -1& {\lambda }_0-a_2& -1& & & \\ & -1& {\lambda }_0-a_3& -1& & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & -1& {\lambda }_0-a_{n-1}& -1\\ & & & & -1& {\lambda }_0-a_n\end{array}\right)$$

右上角的 n-1 阶子式是一个主对角元全为 -1 的下三角行列式, 从而其值非零, 于是 $\mathrm{r}({\lambda }_0{\mathbf{I}}_n-\mathbf{A})=n-1$ , 从而特征值 ${\lambda }_0$ 的几何重数等于 $n-(n-1)=1$ , 特征值 ${\lambda }_0$ 的代数重数也等于 1. 注意到 ${\lambda }_0$ 的任意性, 故 A 有 n 个不同的特征值. 也可以用第七章的方法来证明, 注意到特征矩阵 $\lambda I_n-A$ 右上角的 n-1 阶子式是一个主对角元全为 -1 的下三角行列式, 其值为 $(-1{)}^{n-1}$ , 于是 A 的 n-1 阶行列式因子 $D_{n-1}(\lambda )=1$ , 从而 A 的行列式因子组和不变因子组均为 $1,\cdots ,1,f(\lambda )$ , 因此 A 的极小多项式等于其特征多项式 $f(\lambda )=|\lambda I_n-A|$ . 由于 A 可对角化, 故极小多项式无重根, 即特征多项式 $f(\lambda )$ 无重根, 于是 A 有 n 个不同的特征值.

(2) 由例 6.63 或例 7.26 或例 7.30 可知 $\dim C(\mathbf{A})=n$，并且 $C(\mathbf{A})$ 的一组基为 $\{I_n,A,\cdots ,A^{n-1}\}$ .