第 7 章解答题 3

依赖于

• 例 7.12

被以下题目直接调用

• 无

第 7 章解答题 3

设 $\phi$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，其中 $V=C(\phi ,\alpha )$ 为循环空间，$\alpha$ 为循环向量。设 $\psi ,\xi$ 是与 $\phi$ 乘法可交换的两个线性变换， 求证：$\psi =\xi$ 的充要条件是 $\psi (\alpha )=\xi (\alpha )$。

解答

必要性是显然的，下证充分性。由例 7.12 可知， $\{\alpha ,\phi (\alpha ),\cdots ,{\phi }^{n-1}(\alpha )\}$ 是 $V$ 的一组基。 注意到 $\phi \psi =\psi \phi ,\phi \xi =\xi \phi$ 且 $\psi (\alpha )=\xi (\alpha )$， 故对任意的 $1\le i\le n-1$，有

$$\psi ({\phi }^i(\alpha ))={\phi }^i(\psi (\alpha ))={\phi }^i(\xi (\alpha ))=\xi ({\phi }^i(\alpha )),$$

即 $\psi ,\xi$ 在 $V$ 的一组基上的取值都相同，因此 $\psi =\xi$。