第 7 章填空题 7

依赖于

• 例 7.16

被以下题目直接调用

• 无

第 7 章填空题 7

写出一个矩阵，它的有理标准型只有一个 Frobenius 块，而它的 Jordan 标准型是一个对角矩阵。

解答

设 $f(x)$ 是有理数域上的不可约多项式，则它在复数域内无重根。多项式 $f(x)$ 的友阵 $C(f(x))$ 只含一个 Frobenius 块，其特征多项式 $f(x)$ 在复数域内无重根，因此 $C(f(x))$ 的 Jordan 标准型是对角矩阵。根据上述分析，我们作矩阵

$$C(x^2+1)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),$$

这个矩阵已是有理标准型，其 Jordan 标准型为

$$\left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right).$$

更一般的例子可参考例 7.16。