例 7.16

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例 7.16

设数域 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征多项式 $f (λ) = P_{1} (λ) P_{2} (λ) \dots P_{k} (λ)$ ，其中 $P_{i} (λ) (1 \leq i \leq k)$ 是 $K$ 上互异的首一不可约多项式。求证： $A$ 的有理标准型只有一个 Frobenius 块，并且 $A$ 在复数域上可对角化。

解答

证明设 $A$ 的不变因子组为 $d_{1} (λ), d_{2} (λ), \dots, d_{n} (λ)$ ，则有

f (λ) = P_{1} (λ) P_{2} (λ) \dots P_{k} (λ) = d_{1} (λ) d_{2} (λ) \dots d_{n} (λ) .

由于 $P_{i} (λ)$ 是不可约多项式，故存在某个 $j$ ，使得 $P_{i} (λ) ∣ d_{j} (λ)$ ，从而 $P_{i} (λ) ∣ d_{n} (λ) (1 \leq i \leq k)$ 。由互素多项式的性质可知， $P_{1} (λ) P_{2} (λ) \dots P_{k} (λ) ∣ d_{n} (λ)$ ，因此只能是 $d_{1} (λ) = \dots = d_{n - 1} (λ) = 1, d_{n} (λ) = f (λ)$ ，从而 $A$ 的有理标准型只有一个 Frobenius 块。由于特征多项式 $f (λ) = P_{1} (λ) P_{2} (λ) \dots P_{k} (λ)$ 在 $K$ 上无重因式，故 $(f (λ), f^{'} (λ)) = 1$ ，从而 $f (λ)$ 在复数域上无重根，即 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，于是 $A$ 在复数域上可对角化。 $□$

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