例 7.93

依赖于

• 例 6.94
• 例 4.35

被以下题目直接调用

• 无

例 7.93

设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵，求证：$A$ 相似于 $\mathrm{diag}\{B,C\}$， 其中 $B$ 是 $K$ 上的幂零矩阵，$C$ 是 $K$ 上的可逆矩阵。

\par分析 本题是例 7.65 的推广，即将复数域上的结论推广到数域 $K$ 上。不过，例 7.65 的证明利用了 Jordan 标准型理论，显然在数域 $K$ 上不再适用。通常当我们考虑线性变换的问题时，数域都是事先给定的， 从而在讨论的过程中不会涉及数域的问题。因此我们可用第一种方法来处理本题，即把代数问题转化成几何问题， 然后再用线性变换理论加以解决。本题的几何版本为：设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间， $\phi$ 是 $V$ 上的线性变换，证明：$V=V_1\oplus V_2$，其中 $V_1,V_2$ 都是 $\phi$-不变子空间，且 $\phi {|}_{V_1}$ 是幂零线性变换，$\phi {|}_{V_2}$ 是可逆线性变换。 我们可用两种几何方法来证明这一结论。

解答

证法 1 设 $\phi$ 的特征多项式为 $f(\lambda )={\lambda }^{k}g(\lambda )$，其中 $0\le k\le n,g(0)\ne 0$。注意到 $({\lambda }^k,g(\lambda ))=1$，故由例 6.94 可知， $V=V_1\oplus V_2$，其中 $V_1=\mathrm{Ker}{\phi }^k$， $V_2=\mathrm{Ker}g(\phi )$，并且 $\phi {|}_{V_1}$ 的特征多项式是 ${\lambda }^k$， $\phi {|}_{V_2}$ 的特征多项式是 $g(\lambda )$。因此，$\phi {|}_{V_1}$ 是幂零线性变换， 且由 $\phi {|}_{V_2}$ 的行列式值为 $(-1{)}^{n-k}g(0)\ne 0$ 可知， $\phi {|}_{V_2}$ 是可逆线性变换。

证法 2 由例 4.35 可知，存在整数 $m\in [0,n]$，使得

$$\begin{array}{rl}V& =\mathrm{Ker}{\phi }^m\oplus \mathrm{Im}{\phi }^m,\\ \mathrm{Ker}{\phi }^m& =\mathrm{Ker}{\phi }^{m+1}=\cdots ,\\ \mathrm{Im}{\phi }^m& =\mathrm{Im}{\phi }^{m+1}=\cdots .\end{array}$$

令 $V_1=\mathrm{Ker}{\phi }^m,V_2=\mathrm{Im}{\phi }^m$， 则 $V=V_1\oplus V_2$。因为 $V_1=\mathrm{Ker}{\phi }^m$，所以 $\phi {|}_{V_1}$ 适合多项式 ${\lambda }^m$，从而它是幂零线性变换。因为 $\phi {|}_{V_2}$ 的像空间是

$$\phi (\mathrm{Im}{\phi }^m)=\mathrm{Im}{\phi }^{m+1}=\mathrm{Im}{\phi }^m$$

，所以 $\phi {|}_{V_2}$ 是满映射，从而它是可逆线性变换。$\square$