例 7.92

依赖于

• 例 4.36
• 例 6.94
• 例 7.41
• 例 7.40

被以下题目直接调用

• 无

例 7.92

设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间，$\phi$ 是 $V$ 上秩小于 $n$ 的线性变换， 求证：$V=\mathrm{Ker}\phi \oplus \mathrm{Im}\phi$ 的充要条件是 $0$ 是 $\phi$ 的极小多项式的单根。

\par分析 当 $K=\mathbb{C}$ 时，可以利用 Jordan 标准型理论进行证明。若特征值 $0$ 是 $\phi$ 的极小多项式的单根，则可设 $\phi$ 的初等因子组为 $\lambda ,\cdots ,\lambda ,(\lambda -{\lambda }_1{)}^{r_1},\cdots ,(\lambda -{\lambda }_s{)}^{r_s}$， 其中 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_s$ 是非零特征值，且有 $k$ 个 $\lambda$。因此，存在 $V$ 的一组基 $e_1,\cdots ,e_k,e_{k+1},\cdots ,e_n$，使得 $\phi$ 在这组基下的表示矩阵为

$$\mathrm{diag}\{0,\cdots ,0,J_{r_1}({\lambda }_1),\cdots ,J_{r_s}({\lambda }_s)\}.$$

容易验证 $\mathrm{Ker}\phi =L(e_1,\cdots ,e_k)$， $\mathrm{Im}\phi =L(e_{k+1},\cdots ,e_n)$，于是 $V=\mathrm{Ker}\phi \oplus \mathrm{Im}\phi$。反之，若 $V=\mathrm{Ker}\phi \oplus \mathrm{Im}\phi$，则 $\mathrm{Ker}\phi \cap \mathrm{Im}\phi =0$，由例 7.40 充分性的证明可知， $\phi$ 关于特征值 $0$ 的 Jordan 块都是一阶的，因此 $0$ 是 $\phi$ 的极小多项式的单根。 然而，当 $K\ne \mathbb{C}$ 时，上述讨论就不再适用了，并且本题的结论也不能简单地延拓到复数域上， 因为 $V=\mathrm{Ker}\phi \oplus \mathrm{Im}\phi$ 是数域 $K$ 上线性空间的直和分解， 一般并不能看成是复数域上线性空间的直和分解。接下去让我们来看前两种方法是如何巧妙地解决问题的。

解答

证法 1 若 $V=\mathrm{Ker}\phi \oplus \mathrm{Im}\phi$，则由例 4.36 可知， $\mathrm{Ker}\phi =\mathrm{Ker}{\phi }^2=\cdots$。设 $\phi$ 的极小多项式 $m(\lambda )={\lambda }^{k}g(\lambda )$，其中 $g(0)\ne 0$，我们来证明 $k=1$。用反证法， 假设 $k\ge 2$，则对任意的 $\alpha \in V$，有 ${\phi }^{k}g(\phi )(\alpha )=0$， 从而 $g(\phi )(\alpha )\in \mathrm{Ker}{\phi }^k=\mathrm{Ker}\phi$， 于是 $\phi g(\phi )(\alpha )=0$ 对任意的 $\alpha \in V$ 成立，即 $\phi g(\phi )=0$，因此 $\phi$ 适合多项式 $\lambda g(\lambda )$， 其次数比极小多项式的次数还小，这就导出了矛盾。反之，设 $\phi$ 的极小多项式 $m(\lambda )=\lambda g(\lambda )$，其中 $g(0)\ne 0$，则由例 6.94 的注 (2) 可知， $V=V_1\oplus V_2$，其中 $V_1=\mathrm{Ker}\phi =\mathrm{Im}g(\phi )$， $V_2=\mathrm{Ker}g(\phi )=\mathrm{Im}\phi$，于是 $V=\mathrm{Ker}\phi \oplus \mathrm{Im}\phi$。

证法 2 由例 4.36 可知，$V=\mathrm{Ker}\phi \oplus \mathrm{Im}\phi$ 当且仅当 $r(\phi )=r({\phi }^2)$，因此我们只要证明：$r(\phi )=r({\phi }^2)$ 当且仅当 $0$ 是 $\phi$ 的极小多项式的单根。任取 $\phi$ 在某组基下的表示矩阵 $A$， 则上述问题的代数版本是：$r(A)=r(A^2)$ 当且仅当 $0$ 是 $A$ 的极小多项式的单根。 注意到数域 $K$ 上的矩阵可自然地看成是复矩阵，并且矩阵的秩和极小多项式在基域扩张下不改变， 因此我们可以把 $A$ 当作复矩阵进行证明（即本题分析中的讨论，其中用例 7.41 替代例 7.40 的引用）， 具体细节请读者自行完成。$\square$