例 7.84

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 7.85

例 7.84

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，求 ${\mathrm{e}}^A$ 的行列式。

解答

解 设 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，则 ${\mathrm{e}}^A$ 的特征值为 ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_1},{\mathrm{e}}^{{\lambda }_2},\cdots ,{\mathrm{e}}^{{\lambda }_n}$，因此

$$|{\mathrm{e}}^A|={\mathrm{e}}^{{\lambda }_1}{\mathrm{e}}^{{\lambda }_2}\cdots {\mathrm{e}}^{{\lambda }_n}={\mathrm{e}}^{{\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n}={\mathrm{e}}^{\mathrm{tr}(A)}.\square$$