例 7.85

依赖于

• 例 7.84
• 例 7.80

被以下题目直接调用

• 无

例 7.85

求证：对任一 $n$ 阶方阵 $A$，${\mathrm{e}}^A$ 总是非异阵。

解答

证明 由例 7.84 可知 $|{\mathrm{e}}^A|={\mathrm{e}}^{\mathrm{tr}(A)}\ne 0$，从而 ${\mathrm{e}}^A$ 非异。也可由例 7.80 得到

$${\mathrm{e}}^A{\mathrm{e}}^{-A}={\mathrm{e}}^{A-A}=I_n,$$

于是 ${\mathrm{e}}^A$ 非异且 $({\mathrm{e}}^A{)}^{-1}={\mathrm{e}}^{-A}$。$\square$