例 7.79

依赖于

• 例 2.63

被以下题目直接调用

• 例 7.80

例 7.79

设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶复矩阵，定义 $A$ 的范数为其所有元素模长的平方和的算术平方根，即

$$\Vert A\Vert =\sqrt{\sum _{i,j=1}^n|a_{ij}{|}^2}.$$

设 $B=(b_{ij})$ 也是 $n$ 阶复矩阵，求证：

(1) $\Vert A\Vert \ge 0$，等号成立当且仅当 $A=O$；

(2) $\Vert A+B\Vert \le \Vert A\Vert +\Vert B\Vert$；

(3) $\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \cdot \Vert B\Vert$。

解答

证明 (1) 显然成立。(2) 就是一般范数的三角不等式（参考 \S\S9.1.1 定理 7）。 (3) 注意到

$$\Vert AB{\Vert }^2=\sum _{i,j=1}^n{\left|\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}\right|}^2,\Vert A{\Vert }^2\cdot \Vert B{\Vert }^2=\left(\sum _{i,k=1}^n|a_{ik}{|}^2\right)\left(\sum _{k,j=1}^n|b_{kj}{|}^2\right),$$

由 Cauchy-Schwarz 不等式（参考例 2.63 的复数形式）即得结论。$\square$