例 7.49

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• 第 7 章解答题 10

例 7.49

设

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ a+2& 1& 0& 0\\ 5& 3& 1& 0\\ 7& 6& b+4& 1\end{array}\right),$$

求 $A$ 的 Jordan 标准型。

解答

解 显然 $A$ 的特征值全为 $1$，首先我们来计算特征值 $1$ 的几何重数。考虑矩阵

$$A-I_4=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ a+2& 0& 0& 0\\ 5& 3& 0& 0\\ 7& 6& b+4& 0\end{array}\right).$$

(1) 当 $a+2\ne 0$ 且 $b+4\ne 0$ 时，$r(A-I_4)=3$，于是特征值 $1$ 的几何重数等于 $1$，从而只有一个 Jordan 块，因此 $A$ 的 Jordan 标准型是 $J_4(1)$。

(2) 当 $a+2=0$ 或 $b+4=0$ 时，$r(A-I_4)=2$，于是特征值 $1$ 的几何重数等于 $2$， 从而有两个 Jordan 块。进一步我们来计算 $A$ 的极小多项式。

(2.1) 若 $a+2=0$ 和 $b+4=0$ 中只有一个成立，容易验证 $(A-I_4{)}^2\ne O$， 但 $(A-I_4{)}^3=O$，于是 $A$ 的极小多项式是 $(\lambda -1{)}^3$，从而不变因子组为 $1,1,\lambda -1,(\lambda -1{)}^3$，因此 $A$ 的 Jordan 标准型为 $\mathrm{diag}\{1,J_3(1)\}$。

(2.2) 若 $a+2=0$ 和 $b+4=0$ 都成立，容易验证 $(A-I_4{)}^2=O$，于是 $A$ 的极小多项式是 $(\lambda -1{)}^2$，从而不变因子组为 $1,1,(\lambda -1{)}^2,(\lambda -1{)}^2$，因此 $A$ 的 Jordan 标准型为 $\mathrm{diag}\{J_2(1),J_2(1)\}$。$\square$