第 7 章解答题 10

依赖于

• 例 7.49

被以下题目直接调用

• 无

第 7 章解答题 10

求下列矩阵的 Jordan 标准型，其中 $a$ 为参数：

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& a& 0& 2\\ 0& 1& 0& -1\\ -3& 4& 1& 3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$$

解答

与例 7.49 的解法类似。经计算可得 $|\lambda I_4-A|=(\lambda -1{)}^4$， 即 $A$ 的特征值为 1（4 重）。对特征值 1 的几何重数进行分类讨论。 (1) 若 $a\ne 0$，则经计算可得特征值 1 的几何重数等于 1，于是 $A$ 的 Jordan 标准型为 $J_4(1)$。 (2) 若 $a=0$，则经计算可得特征值 1 的几何重数等于 2，再经计算可得 $(A-I_4{)}^2\ne O$， 因此 $A$ 的极小多项式为 $(\lambda -1{)}^3$，于是 $A$ 的 Jordan 标准型为 $\mathrm{diag}\{1,J_3(1)\}$。