例 7.45

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• 第 7 章解答题 8

例 7.45

设 $\phi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$U$ 是 $V$ 的非零 $\phi$-不变子空间。 设 ${\lambda }_0$ 是限制变换 $\phi {|}_U$ 的特征值，证明：$\phi {|}_U$ 的属于特征值 ${\lambda }_0$ 的 Jordan 块的个数不超过 $\phi$ 的属于特征值 ${\lambda }_0$ 的 Jordan 块的个数。

解答

证明 Jordan 块的个数等于特征值的几何重数，即线性无关的特征向量的个数。设 $\phi {|}_U$ 的属于特征值 ${\lambda }_0$ 的 Jordan 块的个数为 $r$，则 $\phi {|}_U$ 关于特征值 ${\lambda }_0$ 有 $r$ 个线性无关的特征向量，它们也都是 $\phi$ 关于特征值 ${\lambda }_0$ 的线性无关的特征向量，从而 $\phi$ 的属于特征值 ${\lambda }_0$ 的 Jordan 块至少有 $r$ 个。也可用纯代数的方法（矩阵的秩）进行证明， 请读者自行思考完成。$\square$