第 7 章解答题 8

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• 例 7.45

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• 无

第 7 章解答题 8

设 $\phi$ 是 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的线性变换，$U$ 是 $V$ 的任一非零 $\phi$-不变子空间。若 $\phi$ 的极小多项式等于其特征多项式，求证：限制变换 $\phi {|}_U$ 的极小多项式也等于其特征多项式。

解答

任取 $\phi {|}_U$ 上的特征值 ${\lambda }_0$，则它也是 $\phi$ 的特征值。 由于 $\phi$ 的极小多项式等于其特征多项式，故 $\phi$ 的属于特征值 ${\lambda }_0$ 的 Jordan 块只有一个。由例 7.45 可知，$\phi {|}_U$ 的属于特征值 ${\lambda }_0$ 的 Jordan 块也只有一个， 于是 $\phi {|}_U$ 的极小多项式也等于其特征多项式。