例 7.42

依赖于

• 例 4.36
• 例 7.40
• 例 7.41

被以下题目直接调用

• 无

例 7.42

设 $\phi$ 是 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的线性变换，求证：$\phi$ 可对角化的充要条件是 对 $\phi$ 的任一特征值 ${\lambda }_0$，下列条件之一成立：

(1) $V=\mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_0{I}_V)+\mathrm{Im}(\phi -{\lambda }_0{I}_V)$；

(2) $V=\mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_0{I}_V)\oplus \mathrm{Im}(\phi -{\lambda }_0{I}_V)$；

(3) $\mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_0{I}_V)\cap \mathrm{Im}(\phi -{\lambda }_0{I}_V)=0$；

(4) $\dim \mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_0{I}_V)=\dim \mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_0{I}_V{)}^2$；

(5)

$$\mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_0{I}_V)=\mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_0{I}_V{)}^2=\mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_0{I}_V{)}^3=\cdots$$

；

(6) $r(\phi -{\lambda }_0{I}_V)=r((\phi -{\lambda }_0{I}_V{)}^2)$；

(7)

$$\mathrm{Im}(\phi -{\lambda }_0{I}_V)=\mathrm{Im}(\phi -{\lambda }_0{I}_V{)}^2=\mathrm{Im}(\phi -{\lambda }_0{I}_V{)}^3=\cdots$$

；

(8) $\mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_0{I}_V)$ 存在 $\phi$-不变补空间，即存在 $\phi$-不变子空间 $U$，使得 $V=\mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_0{I}_V)\oplus U$；

(9) $\mathrm{Im}(\phi -{\lambda }_0{I}_V)$ 存在 $\phi$-不变补空间，即存在 $\phi$-不变子空间 $W$，使得 $V=\mathrm{Im}(\phi -{\lambda }_0{I}_V)\oplus W$。

解答

证明 由例 4.36 可知条件 (1)～(9) 是相互等价的，因此本题的结论由例 7.40（与条件 (3) 对应） 或例 7.41（与条件 (6) 对应）即得。事实上，对充分性而言，我们还可以从其他条件出发来证明 $\phi$ 可对角化，下面是 $3$ 种证法：

证法 1 对任一特征值 ${\lambda }_0$，由

$$\mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_0{I}_V)=\mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_0{I}_V{)}^2=\cdots =\mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_0{I}_V{)}^n$$

，取维数之后可得特征值 ${\lambda }_0$ 的几何重数等于代数重数，从而 $\phi$ 有完全的特征向量系，于是 $\phi$ 可对角化。

证法 2 对任一特征值 ${\lambda }_0$，由

$$\mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_0{I}_V)=\mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_0{I}_V{)}^2=\cdots =\mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_0{I}_V{)}^n$$

可知，特征子空间等于根子空间， 再由根子空间的直和分解可知，全空间等于特征子空间的直和，从而 $\phi$ 可对角化。

证法 3 设 $\phi$ 的全体不同特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_k$，特征多项式

$$f(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{m_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{m_2}\cdots (\lambda -{\lambda }_k{)}^{m_k}$$

，则对任意的 $\alpha \in V$，由 Cayley-Hamilton 定理可得

$$(\phi -{\lambda }_1{I}_V{)}^{m_1}(\phi -{\lambda }_2{I}_V{)}^{m_2}\cdots (\phi -{\lambda }_k{I}_V{)}^{m_k}(\alpha )=0,$$

即有

$$(\phi -{\lambda }_2{I}_V{)}^{m_2}\cdots (\phi -{\lambda }_k{I}_V{)}^{m_k}(\alpha )\in \mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_1{I}_V{)}^{m_1}=\mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_1{I}_V),$$

从而

$$(\phi -{\lambda }_1{I}_V)(\phi -{\lambda }_2{I}_V{)}^{m_2}\cdots (\phi -{\lambda }_k{I}_V{)}^{m_k}(\alpha )=0.$$

不断这样做下去，最终可得到对任意的 $\alpha \in V$，总有

$$(\phi -{\lambda }_1{I}_V)(\phi -{\lambda }_2{I}_V)\cdots (\phi -{\lambda }_k{I}_V)(\alpha )=0,$$

即 $\phi$ 适合多项式 $g(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1)(\lambda -{\lambda }_2)\cdots (\lambda -{\lambda }_k)$， 从而 $\phi$ 可对角化。$\square$