例 7.40

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• 例 7.42
• 例 7.92
• 例 9.93

例 7.40

设 $\phi$ 是 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的线性变换，求证：$\phi$ 可对角化的充要条件是 对 $\phi$ 的任一特征值 ${\lambda }_0$，总有 $\mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_0{I}_V)\cap \mathrm{Im}(\phi -{\lambda }_0{I}_V)=0$。

解答

证明 先证必要性。若 $\phi$ 可对角化，则存在一组基 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$，使得 $\phi$ 在这组基下的表示矩阵为 $\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\}$。适当调整基向量的顺序，不妨设 ${\lambda }_0={\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_r,{\lambda }_0\ne {\lambda }_j(j>r)$，则容易验证 $\mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_0{I}_V)=L(e_1,\cdots ,e_r)$， $\mathrm{Im}(\phi -{\lambda }_0{I}_V)=L(e_{r+1},\cdots ,e_n)$，从而 $\mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_0{I}_V)\cap \mathrm{Im}(\phi -{\lambda }_0{I}_V)=0$。

再证充分性。用反证法，设 $\phi$ 不可对角化，则存在 $V$ 的一组基 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$，使得 $\phi$ 在这组基下的表示矩阵为 Jordan 标准型 $J=\mathrm{diag}\{J_{r_1}({\lambda }_1),\cdots ,J_{r_k}({\lambda }_k)\}$，其中 $r_1>1$。由表示矩阵的定义可得 $\phi (e_1)={\lambda }_1{e}_1,\phi (e_2)=e_1+{\lambda }_1{e}_2$，于是 $(\phi -{\lambda }_1{I}_V)(e_1)=0,(\phi -{\lambda }_1{I}_V)(e_2)=e_1$，从而 $0\ne e_1\in \mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_1{I}_V)\cap \mathrm{Im}(\phi -{\lambda }_1{I}_V)$， 这与假设矛盾。$\square$