例 9.93

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• 例 7.40

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• 无

例 9.93

设 $\phi$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 上的线性变换，求证：$\phi$ 是正规算子的充要条件是 对 $\phi$ 的任一特征值 ${\lambda }_0$，都有

$$V=\mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_0{I}_V)\perp \mathrm{Im}(\phi -{\lambda }_0{I}_V).$$

解答

证明 设 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_k$ 是 $\phi$ 的全体不同特征值， $V_1,V_2,\cdots ,V_k$ 是对应的特征子空间。先证必要性。若 $\phi$ 是正规算子，则 $V=V_1\perp V_2\perp \cdots \perp V_k$。容易验证

$$\mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_i{I}_V)=V_i,\mathrm{Im}(\phi -{\lambda }_i{I}_V)=V_1\perp \cdots \perp V_{i-1}\perp V_{i+1}\perp \cdots \perp V_k,$$

于是 $V=\mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_i{I}_V)\perp \mathrm{Im}(\phi -{\lambda }_i{I}_V)$ $(1\le i\le k)$。

再证充分性。由条件可知，对 $\phi$ 的任一特征值 ${\lambda }_0$，都有 $\mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_0{I}_V)\cap \mathrm{Im}(\phi -{\lambda }_0{I}_V)=0$， 故由例 7.40 可知 $\phi$ 可对角化，于是 $V=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_k$。对任意的 $1\le i\ne j\le k$， $V_i=\mathrm{Ker}(\phi -{\lambda }_i{I}_V)$，$V_j\subseteq \mathrm{Im}(\phi -{\lambda }_i{I}_V)$， 于是 $V_i\perp V_j$，从而 $V=V_1\perp V_2\perp \cdots \perp V_k$，因此 $\phi$ 是正规算子。$\square$