例 7.4

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 7.46

例 7.4

求证：对任意的 $b\ne 0$，$n$ 阶方阵 $A(a,b)$ 均相互相似：

$$A(a,b)=\left(\begin{array}{ccccc}a& b& \cdots & b& b\\ & a& \ddots & \ddots & b\\ & & \ddots & \ddots & ⋮\\ & & & a& b\\ & & & & a\end{array}\right).$$

解答

证明 只要证明对任意的 $b\ne 0$，$A(a,b)$ 的行列式因子组都一样即可。显然 $D_n(\lambda )=(\lambda -a{)}^n$。$\lambda I_n-A(a,b)$ 的前 $n-1$ 行、前 $n-1$ 列构成的子式， 其值为 $(\lambda -a{)}^{n-1}$；$\lambda I_n-A(a,b)$ 的前 $n-1$ 行、后 $n-1$ 列构成的子式， 其值设为 $g(\lambda )$。注意到 $g(a)$ 是 $n-1$ 阶上三角行列式，主对角元素全为 $-b$， 从而 $g(a)=(-b{)}^{n-1}\ne 0$。因此 $(\lambda -a{)}^{n-1}$ 与 $g(\lambda )$ 没有公因子，故 $((\lambda -a{)}^{n-1},g(\lambda ))=1$，于是 $D_{n-1}(\lambda )=1$，从而 $A(a,b)$ 的行列式因子组为 $1,\cdots ,1,(\lambda -a{)}^n$，结论得证。$\square$