例 7.46

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• 例 7.4

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• 第 7 章解答题 9

例 7.46

求下列 $n$ 阶矩阵的 Jordan 标准型，其中 $a\ne 0$：

$$A=\left(\begin{array}{ccccc}a& a& a& \cdots & a\\ & a& a& \cdots & a\\ & & a& \cdots & a\\ & & & \ddots & ⋮\\ & & & & a\end{array}\right).$$

解答

解法 1 由例 7.4 可知，$A$ 的行列式因子组为 $1,\cdots ,1,(\lambda -a{)}^n$，这也是 $A$ 的不变因子组，从而 $A$ 的 Jordan 标准型为 $J_n(a)$。

解法 2 显然 $A$ 的特征多项式为 $(\lambda -a{)}^n$，故 $A$ 的极小多项式是 $\lambda -a$ 的某个幂。 设 $N=J_n(0)$，即特征值为 $0$ 的 $n$ 阶 Jordan 块，它满足 $N^{n-1}\ne O$ 但 $N^n=O$， 则 $A=a(I_n+N+N^2+\cdots +N^{n-1})$。注意到

$$(A-a{I}_n{)}^{n-1}=a^{n-1}(N+N^2+\cdots +N^{n-1}{)}^{n-1}=a^{n-1}{N}^{n-1}\ne O,$$

故 $A$ 不适合多项式 $(\lambda -a{)}^{n-1}$，于是 $A$ 的极小多项式只能是 $(\lambda -a{)}^n$。因此 $A$ 的不变因子组是 $1,\cdots ,1,(\lambda -a{)}^n$，从而 $A$ 的 Jordan 标准型为 $J_n(a)$。

解法 3 显然 $A$ 的特征值全为 $a$，我们来计算它的几何重数。注意到 $r(a{I}_n-A)=n-1$， 故特征值 $a$ 的几何重数为 $n-r(a{I}_n-A)=1$，于是 $A$ 的 Jordan 标准型中关于特征值 $a$ 的 Jordan 块只有一个，因此 $A$ 的 Jordan 标准型为 $J_n(a)$。$\square$