例 7.29

依赖于

• 例 7.26

被以下题目直接调用

• 例 7.32

例 7.29

设 $J=J_n({\lambda }_0)$ 是特征值为 ${\lambda }_0$ 的 $n$ 阶 Jordan 块，求证：和 $J$ 乘法可交换的 $n$ 阶矩阵必可以表示为 $J$ 的次数不超过 $n-1$ 的多项式。

解答

证明 根据 Jordan 标准型的几何意义，${\mathbb{C}}^n=C(J-{\lambda }_0{I}_n,e_n)$ 是关于线性变换 $J-{\lambda }_0{I}_n$ 的循环空间，循环向量是标准单位列向量中的最后一个 $e_n=(0,\cdots ,0,1{)}^{\prime }$，再由例 7.26 即得结论。当然也可以通过代数方法直接进行证明。设 $A$ 和 $J$ 可交换，注意到 $J={\lambda }_0{I}_n+J_0$，其中 $J_0=J_n(0)$ 是特征值为零的 Jordan 块，故 $A,J$ 乘法可交换当且仅当 $A,J_0$ 乘法可交换。经计算得到 $A$ 必为下列形式的上三角矩阵：

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_n\\ & a_1& \ddots & ⋮\\ & & \ddots & a_2\\ & & & a_1\end{array}\right),$$

于是

$$A=a_1{I}_n+a_2{J}_0+\cdots +a_n{J}_0^{n-1}=a_1{I}_n+a_2(J-{\lambda }_0{I}_n)+\cdots +a_n(J-{\lambda }_0{I}_n{)}^{n-1}.$$

可表示为 $J$ 的次数不超过 $n-1$ 的多项式. $\square$