例 7.26

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• 无显式依赖

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• 例 7.27
• 例 7.28
• 例 7.29
• 例 7.30
• 第 7 章解答题 4

例 7.26

设 $\phi$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，则对 $V$ 上任一与 $\phi$ 乘法可交换的线性变换 $\psi$，都存在不超过 $n-1$ 次的多项式 $g(x)\in K[x]$，使得 $\psi =g(\phi )$ 成立的充要条件是 $\phi$ 的极小多项式等于其特征多项式。

解答

证明 先证充分性。设 $\phi$ 的极小多项式等于其特征多项式 $f(\lambda )={\lambda }^n+a_1{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\lambda +a_n$，则 $\phi$ 只有一个非常数不变因子。由有理标准型理论，存在 $V$ 的一组基 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$，使得 $\phi$ 在这组基下的表示矩阵为友阵

$$C(f(\lambda ))=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& -a_n\\ 1& 0& \cdots & 0& -a_{n-1}\\ 0& 1& \cdots & 0& -a_{n-2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& -a_1\end{array}\right),$$

即有

$$\begin{array}{rl}\phi (e_1)& =e_2,\phi (e_2)=e_3,\cdots ,\phi (e_{n-1})=e_n,\\ \phi (e_n)& =-a_n{e}_1-a_{n-1}{e}_2-\cdots -a_1{e}_n.\end{array}$$

任取 $V$ 上满足 $\phi \psi =\psi \phi$ 的线性变换 $\psi$，设

$$\psi (e_1)=b_n{e}_1+b_{n-1}{e}_2+\cdots +b_1{e}_n,\text{\hspace{1em}(7.7)}$$

令 $g(x)=b_1{x}^{n-1}+\cdots +b_{n-1}x+b_n$，我们来证明：$\psi =g(\phi )$。首先由 $e_k={\phi }^{k-1}(e_1)(k\ge 2)$ 以及 (7.7) 式可知 $\psi (e_1)=g(\phi )(e_1)$ 成立。其次由 $\phi ,\psi$ 乘法可交换，故对任意的 $e_k(k\ge 2)$ 有

$$\begin{array}{rl}\psi (e_k)& =\psi ({\phi }^{k-1}(e_1))={\phi }^{k-1}(\psi (e_1))={\phi }^{k-1}(g(\phi )(e_1))\\ & =g(\phi )({\phi }^{k-1}(e_1))=g(\phi )(e_k).\end{array}$$

最后，注意到 $\psi$ 与 $g(\phi )$ 在基向量 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 上的取值都相等，故由线性扩张定理可知 $\psi =g(\phi )$ 成立。

再证必要性。设 $\phi$ 的不变因子组为 $1,\cdots ,1,d_1(\lambda ),\cdots ,d_k(\lambda )$，其中 $d_i(\lambda )$ 为非常数首一多项式， $d_i(\lambda )\mid d_{i+1}(\lambda )(1\le i\le k-1)$，则 $\phi$ 的有理标准型 $F=\mathrm{diag}\{F_1,F_2,\cdots ,F_k\}$，其中 $F_i=F(d_i(\lambda ))$ 为 $n_i$ 阶矩阵。若 $\phi$ 的极小多项式不等于其特征多项式，则 $k\ge 2$。构造分块对角矩阵

$$B=\mathrm{diag}\{I_{n_1},O_{n_2},\cdots ,O_{n_k}\},$$

显然 $BF=FB$。用反证法，若存在多项式 $g(x)$，使得 $B=g(F)$，即

$$B=\mathrm{diag}\{g(F_1),g(F_2),\cdots ,g(F_k)\},$$

则 $g(F_1)=I_{n_1}$，$g(F_i)=O(i\ge 2)$。由于 $d_k(\lambda )$ 是 $F_k$ 的极小多项式（也是特征多项式），故 $d_k(\lambda )\mid g(\lambda )$，从而 $d_1(\lambda )\mid g(\lambda )$，于是 $g(F_1)=O$，矛盾！因此 $B$ 不能表示为 $F$ 的多项式，从而由 $B$ 定义的线性变换 $\psi$ 符合题目要求。$\square$